2 Teoría de Conjuntos y Definición de Probabilidad
La teoría de probabilidad es la base sobre la cual está construida la estadística. Esta nos brinda las herramientas para modelar una población, un experimento o casi cualquier fenómeno aleatorio.
Teoría de probabilidad -> Base matemática para modelar un fenómeno aleatorio.
Mediante estos modelos, podemos ser capaces de extraer conclusiones (inferencias) acerca de la población, inferencias basadas en la observación de solo una parte del todo (una muestra de la población).
Dado que la teoría de probabilidad está construida en base a la teoría de conjuntos, sera necesario comenzar en ese punto, con la finalidad de definir formalmente lo que llamamos eventos y luego poder definir la medida de probabilidad.
2.1 Teoría de Conjuntos
2.1.1 Conjunto
Un conjunto es una colección definida de objetos. Los objetos de un conjunto se denominan elementos.
Si un objeto \(x\) pertenece al conjunto \(A\), se denota:
\[ x \in A \] Y si no pertenece, se denota como:
\[ x \notin A \] Un par de llaves \(\{ \}\), empleado junto con números, palabras o símbolos, puede describir un conjunto. Por ejemplo:
\[ A = \{a_1, a_2, ... , a_n\} \] También puede expresarse un conjunto \(A\) por medio de un símbolo que denote una variable, en general la letra \(x\), la cual representa a cualquier elemento de un conjunto y mediante la notación por construcción, donde se emplea una barra vertical \(|\) o \(:\), la cual siginifica tales que:.
Por ejemplo:
\[ S = \{x \ | \ x \ es \ un \ número \ natural \ menor \ que \ 6\} \] Esto se lee así: El conjunto de todas las x tales que x es un número natural menor que 6.
Otro ejemplo:
\[ A = \{x \in \mathbb{N} : x \ es \ par \} \]
2.1.2 Subconjunto y conjunto de partes
Sean \(A\) y \(B\) conjuntos, si todos los elementos de A están en B, entonces se dice que \(A\) es subconjunto de \(B\), esto se denota como:
\[ A \subseteq B \iff ( \forall x)(x \in A \Longrightarrow x \in B ) \] Si \(A \subseteq B \ y \ A \neq B\), entonces \(A\) se llama subconjunto propio de B. También se denota \(A\subsetneq B\)
El conjunto de partes (o conjunto potencia) de \(A\), denotado por \(\mathcal{P}(A)\), es el conjunto de todos los subconjuntos posibles de \(A\), incluyendo el conjunto vacío \((\emptyset)\) y el propio conjunto \(A\).
Si \(A\) tiene \(n\) elementos, entonces su conjunto de partes tiene \(|\mathcal{P}(A)| = 2^n\) elementos. La cantidad de elementos del conjunto de partes se conoce como cardinalidad (#).
Ejemplo: Si \(A = \{ 1, 2 \}\), entonces:
\[
\mathcal{P}(A) = \{ \emptyset, \{ 1\}, \{ 2\}, \{ 1,2\} \}
\] Tambien se lee a \(\mathcal{P}()\) como las partes de.
2.2 Espacio Muestral y Evento
Uno de los principales objetivos de un estadístico es poder extraer conclusiones acerca de una población de objetos mediante la realización de un experimento (obtención de una muestra de la población).
El primer paso es poder identificar los posibles resultados de un experimento, que en términos estadísticos se conoce como el espacio muestral.
Podemos clasificar espacios muestrales en función del número de elementos que ellos contienen. Así, los espacios muestrales pueden ser contables (numerables) o no-contables (no-numerables).
Esto implica que:
$$ , y , son conjuntos contable \ es No contable
$$
Saber si un espacio muestral es contable o no-contable nos servira para entender como se dictan las maneras en que las probabilidades pueden ser asignadas.
Hasta la actualidad, no es posible medir con precisión infinita una cantidad física (Por ejemplo, el tiempo), por lo tanto, la mayor parte del tiempo estamos trabajando con espacios muestrales contables.
Ocurre también que los cálculos para situaciones con mucha precisión, es mejor considerarlo como un comportamiento continuo, mas que un conjunto finito, dado que son muchos los valores que habria que considerar.
2.3 Operaciones básicas con eventos
2.4 Identidades y leyes útiles
2.5 Uniones e Intersecciones infinitas
Las operaciones de unión e intersección se pueden extender a una colección infinita de conjuntos. Si \(A_1, A_2, A_3, \ldots\) es una colección de conjuntos, todos definidas en un espacio muestral \(S\), entonces existe una notación para una familia indexada \(\{A_i\}_{i \in I} \ (índice \ I \ arbitrario):\)
\[
\bigcup_{i \in I}A_i = \{ x: \exists i \in I, x \in A_i \}
\] \[
\bigcap_{i \in I}A_i = \{ x: \forall i \in I, x \in A_i \}
\] Para el caso contable (es muy usual): \[
\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \ \ y \ \ \bigcap_{n=1}^{\infty}A_n
\] También es posible aplicar la propiedad distributiva a una familia infinita, la cual es válida para cualquier índice:
\[
Para \ todo \ conjunto \ B,
\] \[
B \cap(\bigcup_{i \in I} A_i) = \bigcup_{i \in I}(B \cap A_i) \ , \ \ \ \ B \cup(\bigcap_{i \in I} A_i) = \bigcap_{i \in I}(B \cup A_i)
\] Las leyes de De Morgan también son válidas para familias arbitrarias.
Los ejemplos quedan pendientes, sin embargo para este tipo de situaciones, la mayor parte del tiempo se emplean una familia de intervalos como objetos matemáticos.
2.6 Conjuntos disjuntos
Los eventos \(A_1, A_2, \ldots\) (que también se puede expresar como una colección de conjuntos \(\{A_i\}_{i \in I}\)) son disjuntos por pares si cada par de posibles conjuntos distintos tiene una intersección vacia, lo que significa que no comparten ningún elemento en común.
En notación matemática, los eventos disjuntos por pares se representan como: \[ A_i \cap A_j = \emptyset, \ \forall i \neq j \]
2.7 Partición de un conjunto (Partición de \(\Omega\) en el caso de considerar al espacio muestral)
A partir del concepto de eventos disjuntos es posible construir el concepto de partición de un conjunto.
Siempre es posible hacer una partición, cuando no existe, por medio de partir en secciones más finas. La noción intuitiva seria pensar en un rompecabezas.
Las siguientes familias o colecciones de intervalos son particiones de \(\mathbb{R}\): \[ \{(-\infty,0), \{0\}, (0, +\infty)\} \] \[ A_i = [i,\ i+1], \ \ i \in \mathbb{Z} \]
2.8 Sigma-álgebra
El objeto matemático sigma-álgebra es primordial en la definición de probabilidad.
El objetivo de definir una Sigma-álgebra \(\mathcal{F}\) de las partes de \(\Omega\) es para poder calcular probabilidades.
- La Sigma-álgebra va a ser mi conjunto de todos los conjuntos a los que yo les puedo calcular una probabilidad.
- La Sigma-álgebra contiene a todos los conjuntos a los que yo le voy a calcular la probabilidad.
- Es el conjunto de todos los elementos que me interesa calcular una probabilidad.
- La Sigma-álgebra es el conjunto de todos los eventos a los cuales quiero calcular la probabilidad.
2.9 Axiomas de Probabilidad
2.10 Método general para definir probabilidades
Para poder definir una medida de probabilidad a un espacio muestral basta con asignar un valor a cada elemento del espacio muestral, y hay que regirse por los axiomas de probabilidad, es decir, todos deben ser positivos y la suma de todos debe ser 1.